甲：乙不知道這兩個數是什麼
丙：我知道這兩個數是什麼了

數字狼人殺

我在升高三暑假某次靈機一動，覺得可以把誰說謊誰誠實，跟我知道你不知道兩種邏輯題結合起來。於是我在數學培訓就開始想，回家後打開Excel去湊數字，搞了好幾天終於設計出了這個魔王題！~~但好像大家都懶得挑戰w~~

題目敘述

小明選取了兩個正整數 $x,y$ ，滿足 $1<x<y<10$ ，他將 $x+y$ 告訴甲、 $xy$ 告訴乙、 $x-y$ 告訴丙。已知甲、乙、丙皆有可能說實話或謊話，但說實話者永遠說實話，說謊話者永遠說謊話，且在開始對話前，甲、乙、丙三人互相對彼此說實話或謊話的情形一無所知。假設甲、乙、丙都是絕頂聰明的，能運用所有現有知識做出盡可能多的推論，現在，他們開始以下對話：

甲：我不知道這兩個數是什麼，但我知道這兩個數中一定有奇數
乙：我不知道這兩個數是什麼
丙：我不知道這個數是什麼，不過甲在說謊
甲：乙不知道這兩個數是什麼
乙：的確，我不知道
丙：甲不知道這兩個數是多少，而且乙在說謊
甲：我不完全知道乙和丙是否說謊的全部實情
乙：我手上的數字( $xy$ )是偶數
丙：我現在知道這兩個數是什麼

(註：三人都是在確認自己說的話一定是實話或謊話才會講，以避免說出不小心說出不符合自己人設的話；另外，要整句話皆為真才是實話)
請問：

(以下2~5題皆承接1.，即假設真正的 $(x,y)$ 即是使 $x+y$ 達最小的那組)

$(x,y)$ 的所有可能為何？使得 $x+y$ 最小的那組 $(x,y)$ 為何？
丙說完他的第二句話後，據甲所知所有他認為有可能的 $(x,y)$ 所組成的最小集合為何？
甲、乙、丙三人知道 $(x,y)$ 確切值的順序為何？分別在何時就知道了？
原對話刪除其中 $k$ 句，且確保三人的邏輯嚴謹與合理，若欲使丙仍能判斷出 $(x,y)$ 的確切數值，試求出 $k$ 的最大值，以及具體刪除哪幾句？

為了以下論述方便，我們使用說話人-全部句數中第幾句對句子進行編號，譬如乙-5為「的確，我不知道」；另外，以T代表說實話者，F代表說謊者；再者，若論述提及「某人不知道」，未註明時均指他「不知道 $x,y$ 兩數的確切數值」。

簡答

點我展開

所有可能為 $(x,y)=(3,9)\vee(5,9)$ ，其中 $(x,y)=(3,9)$ 可使 $x+y$ 最小
$\{(3,9),(4,8)\}$
如下表

角色何時知道

乙對話開始之前

丙 甲-4後

甲 乙-8後
$k$ 的最大值為 $8$ ，只需保留甲-4即可

角色	何時知道
乙	對話開始之前
丙	`甲-4`後
甲	`乙-8`後

詳解

第1題

點我展開

先將所有可能情形列出

(x,y)	甲 (x+y)	乙 (xy)	丙 (x-y)	xy唯一?	x+y唯一?	x-y唯一?
(2,3)	5	6	-1	是	是	否
(2,4)	6	8	-2	是	是	否
(2,5)	7	10	-3	是	否	否
(2,6)	8	12	-4	否	否	否
(2,7)	9	14	-5	是	否	否
(2,8)	10	16	-6	是	否	否
(2,9)	11	18	-7	否	否	是
(3,4)	7	12	-1	否	否	否
(3,5)	8	15	-2	是	否	否
(3,6)	9	18	-3	否	否	否
(3,7)	10	21	-4	是	否	否
(3,8)	11	24	-5	否	否	否
(3,9)	12	27	-6	是	否	否
(4,5)	9	20	-1	是	否	否
(4,6)	10	24	-2	否	否	否
(4,7)	11	28	-3	是	否	否
(4,8)	12	32	-4	是	否	否
(4,9)	13	36	-5	是	否	否
(5,6)	11	30	-1	是	否	否
(5,7)	12	35	-2	是	否	否
(5,8)	13	40	-3	是	否	否
(5,9)	14	45	-4	是	否	否
(6,7)	13	42	-1	是	否	否
(6,8)	14	48	-2	是	否	否
(6,9)	15	54	-3	是	否	否
(7,8)	15	56	-2	是	否	否
(7,9)	16	63	-1	是	是	否
(8,9)	17	72	-1	是	是	否

為了以下論述方便，我們使用說話人-全部句數中第幾句對句子進行編號，譬如乙-5為「的確，我不知道」；另外，以T代表說實話者，F代表說謊者；再者，若以下論述提及「某人不知道」，未註明時均指他「不知道 $x,y$ 兩數的確切數值」。以下開始進行推論：

甲知道 $x+y$ 中必有奇數，若且惟若 $x+y$ 為奇數，因為此時 $x,y$ 必為一奇一偶，且若 $x+y$ 為偶數，甲將不能確定 $x,y$ 是兩奇或兩偶
$x+y$ 和 $x-y$ 的奇偶性相同
丙-3：「我不知道這個數是什麼，不過甲在說謊」
- 若丙為T $\Rightarrow$ 丙不知道( $\Rightarrow$ $x-y\neq-7$ )且甲為F，而且丙知道甲為F。根據上表，我們知道丙除非是拿到 $-7$ ，否則不可能在一開始就能推論出甲知道與否，因此丙僅能對「 $x+y$ 必有奇數」做出否定 $\Rightarrow$ $x+y$ 和 $x-y$ 均為偶數
- 若丙為F $\Rightarrow$ 丙知道( $\Rightarrow$ $x-y=-7$ )或甲為T，不過若丙知道，則查表知甲確實不知道，且丙知道代表 $x-y=-7$ ，進而 $x+y$ 為奇數，從而甲亦說實話。因此，無論如何甲為T。 $\Rightarrow$ $x+y,x-y$ 為奇數，且 $x+y\notin\{5,6,16,17\}$
- 由以上兩點，我們得知：甲為T $\Leftrightarrow$ 丙為F $\Leftrightarrow$ $x,y$ 一奇一偶，且由於這些推理甲、丙都會做出，又他們知道自己是否說謊，因此他們互相知道對方是否說謊(在ROUND 1結束後)
丙-6：「甲不知道這兩個數是多少，而且乙在說謊」
- 若丙為T，則有
  1. 甲為F，且丙知道這件事
  2. 甲知道丙為T
  3. $x+y,x-y$ 為偶數
  4. 丙知道「甲不知道這兩個數是多少」
  5. 丙知道「乙在說謊( $\Rightarrow$ 乙知道 $\Rightarrow$ $xy\notin\{12,18,24\}$ )」
  - 由1，甲-4為假，因而「乙知道這兩個數是多少」，從而乙亦為F，且甲知道這件事，因而甲由手上的 $x+y$ 可知 $xy\notin\{12,18,24\}$ 。我們將所有可能根據3進行篩選，滿足 $xy\in\{12,18,24\}$ 的組合只剩 $(x,y)=(2,6)\vee(4,6)$ ，由於要能由 $x+y$ 排除這種情形的可能性，從而 $x+y\neq8\vee10$ 。查表可知 $(x,y)\in\{(2,4),(3,9),(4,8),(5,7),(5,9),(6,8),(7,9)\}$
  - 由4知 $x-y\neq-2$ (否則丙將無法確定甲是否不知道這兩數是多少)，因此先排 $x-y=-2$ 的所有情形，得到
    $(x,y)\in\{(3,9),(4,8),(5,9)\}$
  - 此時有(甲,乙,丙)=(F,F,T)
- 若丙為F，則由甲-4為真，乙-5亦為真，從而(甲,乙,丙)=(T,T,F)。且由於甲、乙、丙都能做出相應推理(他們擁有的資訊甚至還比我們多，我們在資訊受限時能做出的推理他們自然能做出)，因此他們三人也都知道彼此的說謊或說實話情形。從而甲-7：「我不完全知道乙和丙是否說謊的全部實情」為謊話，但這與甲說實話矛盾，從而此情形不可能發生
- 綜合以上分析，我們得出
  (甲,乙,丙)=(F,F,T)，且 $(x,y)\in\{(3,9),(4,8),(5,9)\}$ ，且可驗證此人設組合與甲-7並不矛盾
乙-8
- 由於乙為F，因而 $xy$ 為奇數，從而 $(x,y)=(3,9)\vee(5,9)$ ，此即所有 $(x,y)$ 的可能，而使 $x+y$ 達最小的解為 $(3,9)$

我們可以經由 $(x,y)=(3,9)$ 輕易推論出「甲、乙、丙三人在ROUND 1結束後就都知道彼此的誠實與說謊情形了」。

第2題

點我展開

接著我們來解第2題，因為 $(x,y)=(3,9)$ ，甲拿到 $x+y=12$ 、乙拿到 $xy=27$ 、丙拿到 $x-y=-6$ 。我們站在甲的角度進行推理：

由 $x+y=12$ ，甲在一開始可知 $(x,y)\in\{(3,9),(4,8),(5,7)\}$
查表可知乙-2、丙-3、乙-5所述都是甲已知的資訊，且他也知道丙在聽完他說的話之後便知道他在說謊，因此無從排除任何組合。
至於丙-6，由於甲可以做出我們在求解第1題時做出的推理，進而得出 $(x,y)\in\{(3,9),(4,8),(5,9)\}$ ，與上一題的答案取交集，甲據他所知所有他認為有可能的 $(x,y)$ 所組成的最小集合為 $\{(3,9),(4,8)\}$

第3題

點我展開

接著是第3題，首先，乙在遊戲一開始便知道 $(x,y)$ 的確切數值。接著考慮甲，由第2題知至丙-6，他已將 $(x,y)$ 的可能性縮減到剩下兩種，而他在聽到乙-8時便知道 $xy$ 為奇數，從而 $(x,y)=(3,9)$ 。至於丙，由於他拿到的數為 $-6$ ，在遊戲一開始他便認知 $(x,y)\in\{(2,8),(3,9)\}$ ，而丙對甲-4做出與我們在解第1題時相同的推理便能排除 $(2,8)$ 這組可能。

角色	何時知道	關鍵
乙	對話開始之前	$xy=27$ 可唯一分解
丙	甲-4後	甲知道乙知道，因而排除了 $(2,8)$ 的可能
甲	乙-8後	乙-8的謊話使甲知道 $x,y$ 皆為奇數

第4題

點我展開

在來是第4題，由上我們可知只保留甲-1~甲-4，丙便能判斷出 $(x,y)$ 是什麼。我們來看各句話分別有什麼功能

甲：我不知道這兩個數是什麼，但我知道這兩個數中一定有奇數
乙：我不知道這兩個數是什麼
丙：我不知道這個數是什麼，不過甲在說謊
甲：乙不知道這兩個數是什麼

遊戲開始前：

甲知道 $(x,y)\in\{(3,9),(4,8),(5,7)\}$

乙知道 $(x,y)=(3,9)$

丙知道 $(x,y)\in\{(2,8),(3,9)\}$

甲-1	乙-2	丙-3	甲-4
讓丙知道甲為F	未給甲、丙新資訊	未給甲新資訊	使丙排除 $(2,8)$

我們因而知道乙-2、丙-3也都可刪去。進一步我們還可以發現丙在一開始就知道乙知道了，因此憑甲-4就能知道甲為F，因此甲-1亦可刪去，因此 $k$ 的最大值為8，刪去後只保留甲-4。

我們示範一下丙如何藉此進行推理：

丙：「根據我手上的 $x-y=-6$ ，我知道 $(x,y)=(2,8)\vee(3,9)$ ，經由查表我發現對這兩種情形，乙都在一開始就能知道 $(x,y)$ 是什麼了，但甲卻說『乙不知道』，因而甲一定在說謊。而既然甲會這麼說，代表他也知道『乙知道』，才能保證他說的是謊話，若 $(x,y)=(2,8)$ ，那麼甲拿到的 $x+y=10$ ，但 $(x,y)=(4,6)$ 就是一組使 $x+y=10$ 但乙不知道的組合，也就是甲如果拿到 $x+y=10$ ，他將無法確定乙一定知道，從而必有 $(x,y)=(3,9)$ 」